十分钟魔法练习TS版学习笔记（1）

发表于 2025-08-11 更新于 2025-09-11 分类于 TypeScript 阅读次数：

代数数据类型 (Algebraic Data Type) 、广义代数数据类型 (Generalized Algebriac Data Type) 、余代数数据类型 (Coalgebraic Data Type)

https://github.com/asukaminato0721/magic-in-ten-mins-ts/blob/master/doc/ADT.md

https://github.com/asukaminato0721/magic-in-ten-mins-ts/blob/master/doc/GADT.md

https://github.com/asukaminato0721/magic-in-ten-mins-ts/blob/master/doc/CoData.md

入门三篇篇，感觉还算能理解，就是理解起来有点烧脑（应该是我太菜了，嗯没错），不过多解释了

单位半群 (Monoid)

https://github.com/asukaminato0721/magic-in-ten-mins-ts/blob/master/doc/Monoid.md

到这开始有点难理解了，这里我掏出我的学习小助手DS R1问一下什么是半群（Semigroup）：

好的！咱们用大白话来解释「半群」这个听起来挺唬人的数学概念：

你可以把它想象成一个 「遵守特定组合规则的流水线」：

你有一个「车间」：这个车间就是集合 A。里面装着你所有的「原材料」（元素），比如零件、数字、字母等等。
车间里有一台固定的「组合机器」：这台机器就叫做 <>（你可以把它想象成任何你喜欢的机器名，比如「搅拌机」、「黏贴器」、「连接器」）。
- 这台机器怎么用？ 每次只能放进 两件 车间里的原材料 (比如 a 和 b)。
- 它吐出来什么？ 一定会吐出来另外一件仍然属于你车间的原材料（比如 a <> b）。这就是 封闭性：机器不会做出跑到车间外面的东西。
这台机器有个重要特点：「顺序无所谓，效果一样」：这就是 结合律。想象一下：
- 你 先 把原料 a 和 b 扔进机器，得到一个中间产品 (a <> b)。
- 然后你 再 把这个中间产品 (a <> b) 和下一个原料 c 一起扔进机器，得到最终产品 (a <> b) <> c。
- 或者，你也可以换种顺序：先把 b 和 c 扔进机器，得到一个不同的中间产品 (b <> c)。
- 然后你 再 把原料 a 和这个中间产品 (b <> c) 一起扔进机器，得到最终产品 a <> (b <> c)。
- 关键在于：这台机器设计的非常好，不管你先组合哪两个（只要原材料的顺序a b c不变），最终产品竟然是完全一样的！ 也就是 (a <> b) <> c === a <> (b <> c)。

所以，半群就是这样一个东西：

一个装满东西的盒子（集合 A）。
一个专门加工这个盒子里任意两样东西的「两两组合器」（运算 <>），组合完的结果也必须在这个盒子里（封闭性）。
这个组合器有个神奇特性：组合顺序可以随意搭配，只要原材料的大排队顺序不变（从左到右还是a, b, c），最终组合结果保证一样（结合律）。

几个通俗例子让你感受一下：

整数加法车间：
- 车间 A： 所有整数 (… -2, -1, 0, 1, 2, …)
- 组合器 <>： 加号 +
- 两两组合规则： a + b
- 封闭性： 两个整数加一起肯定还是整数（还在车间里）。
- 结合律： (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6，1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6。结果一样！
非空字符串连接车间：
- 车间 A： 所有由字母组成的非空字符串 (“a”, “hello”, “cat”, …)
- 组合器 <>： 字符串连接 . (比如 Python/Javascript里的 + 用于字符串)
- 两两组合规则： "hello" <> "world" = "helloworld"
- 封闭性： 连接两个非空字符串，肯定得到另一个非空字符串（还在车间里）。
- 结合律： ("hello" <> " ") <> "world" = "hello " <> "world" = "hello world"，"hello" <> (" " <> "world") = "hello" <> " world" = "hello world"。结果一样！

什么情况下不是半群？

减法车间（整数）： 满足结合律吗？(10 - 5) - 2 = 5 - 2 = 3，10 - (5 - 2) = 10 - 3 = 7。3 不等于 7！所以不满足结合律。
整数除法车间： 既不封闭（1除以2等于0.5，不是整数！），也不满足结合律。

总结:

半群就是一个集合（一群东西）配上一个规矩（一个只能操作两样东西的组合器）。这个规矩有两个核心要求：1) 组合结果不能跑出这个集合（不能跑偏）；2) 组合的操作顺序可以灵活安排，只要原材料的先后次序不变，最终结果保证不变（组合顺序影响不了大局）。

记住「流水线」和「顺序无所谓，效果一样」这两个关键点，半群就没那么神秘了！它就是数学里用来描述一些具有稳定组合行为的系统的最基本结构。

嗯经过ai这么一说就很通俗易懂了，谢谢你，DS。

下一段是讲单位半群，说的也不是很清楚，那么更通俗的讲解一下单位半群的事情就拜托你了DS！

好的，我们把单位半群（Monoid）拆解得更通俗一点，继续用之前的比喻：

回忆一下半群：
想象一个车间（集合 A） 和一台只能同时加工两件原料的组合机器（运算 <>）。这台机器有两个规矩：

封闭性：扔进去两件车间的原料，吐出来的成品一定还在车间里。
结合律：加工顺序可以随意组合（先做 a 和 b，再和 c 做；或者先做 b 和 c，再和 a 做），只要原料的排队顺序（a 然后 b 然后 c）不变，最终成品保证一模一样。

现在，单位半群（Monoid）在半群的基础上，增加了一个超级神奇的东西：一个「隐形原料」或者说「万能催化剂」——单位元（Identity Element）

这个「单位元」有什么神奇之处？

想象一下，在车间 A 里，存在一件特殊的原料，我们叫它 e（或者 identity）。它神奇的地方在于：

当你把 e 和车间里的 任何其他原料 x 一起扔进组合机器 <> 时，无论 e 是在左边还是右边，机器吐出来的成品，都 完全等于 那个 x 本身！

用公式表示就是：

x <> e = x （x 和 e 组合，结果还是 x）
e <> x = x （e 和 x 组合，结果还是 x）

这个 e 就是单位元！

为什么叫「单位元」？
因为它就像数学乘法里的 1，或者加法里的 0。任何数乘以 1 还是它本身 (x * 1 = x)，任何数加上 0 也还是它本身 (x + 0 = x)。它不改变其他元素。

所以，单位半群（Monoid）就是：

一个半群（车间 A + 组合机器 <>，满足封闭性和结合律）。
外加一个「隐形原料」/「万能催化剂」——单位元 e。这个 e 在组合操作中，对任何元素都像「透明」的一样，不会改变对方。

通俗比喻升级：

想象你在车间里做拼积木（组合机器 <> 就是拼积木的动作）：

半群： 你有各种积木块（集合 A），你可以把任意两块积木拼在一起（a <> b），拼完的结果还是一块更大的积木（封闭性）。而且，拼积木的顺序可以灵活安排（结合律），比如：
- 先拼 a 和 b 得到 ab，再把 ab 和 c 拼成 abc。
- 或者先拼 b 和 c 得到 bc，再把 a 和 bc 拼成 abc。
- 最终 abc 是一样的。
单位半群： 除了各种积木块，车间里还有一个超级特殊的「隐形积木」e。这个隐形积木的神奇之处在于：
- 如果你把 e 拼在 任何积木块 x 的 左边 (e <> x)，x 看起来就像完全没被拼过一样，还是 x。
- 如果你把 e 拼在 任何积木块 x 的 右边 (x <> e)，x 看起来也像完全没被拼过一样，还是 x。
- 这个 e 就像空气，或者一个完全透明的、没有任何体积的积木块。拼它等于没拼！

你举的例子非常棒：

{加法+, 自然数集} 是单位半群：
- 车间： 所有自然数 0, 1, 2, 3, ...
- 组合机器： + (加法)
- 单位元 e： 0
- 为什么？ x + 0 = x 且 0 + x = x。加 0 等于没加！
{乘法, 自然数集} 是单位半群：*
- 车间： 所有自然数 1, 2, 3, ... (注意，自然数集是否包含 0 有争议，如果包含 0，0 * x = 0 而不是 x，所以单位元是 1，但 0 会破坏单位元性质。通常这里指正整数集或包含 1 的集合)。
- 组合机器： * (乘法)
- 单位元 e： 1
- 为什么？ x * 1 = x 且 1 * x = x。乘 1 等于没乘！
{连接+, 字符串集} 是单位半群：
- 车间： 所有字符串 ("a", "hello", "cat", "", …) (通常包含空串)
- 组合机器： + 或 concat (字符串连接，例如 "a" + "b" = "ab")
- 单位元 e： "" (空字符串)
- 为什么？ "hello" + "" = "hello" 且 "" + "hello" = "hello"。连接一个空字符串等于没连接！

TypeScript 代码解释：

你提供的 TypeScript 接口 MonoidAcc<T> 描述了一个对象，它封装了一个 Monoid 的值和操作：

value: T;：这就是当前这个对象所代表的值，属于集合 A（类型 T）。
concat: (v: T) => MonoidAcc<T>：这就是组合操作 <>。它接受另一个属于集合 A 的值 v（类型 T），将当前对象的 value 和传入的 v 进行组合（执行 this.value <> v），然后返回一个新的 MonoidAcc<T> 对象，其 value 就是组合的结果。

要成为一个真正的 Monoid，这个 concat 操作必须：

满足结合律： (a.concat(b)).concat(c) 必须等价于 a.concat(b.concat(c))（这里 a, b, c 是 MonoidAcc<T> 实例，.concat 返回新实例，.value 是组合结果）。
存在单位元： 必须存在一个特殊的 MonoidAcc<T> 实例，通常叫做 empty 或 identity，它的 value 就是单位元 e。对于这个 empty 实例和任何其他实例 x：
- empty.concat(x).value === x.value
- x.concat(empty).value === x.value

总结：

单位半群（Monoid）就是一个自带「隐形元素」的半群。这个隐形元素（单位元）在进行组合操作时，就像不存在一样，不会改变和它组合的那个元素。常见的例子有：数字加法里的 0，数字乘法里的 1，字符串连接里的空串 ""，列表连接里的空列表 []。它在数学和编程（尤其是函数式编程）中非常重要，因为它提供了一种安全、可预测的“组合”基础。

这下就通俗易懂了，比如举例的Optional

class SumAcc implements MonoidAcc<number> {
    constructor(public value: number) {
        this.value = value;
    }
    concat = (v: number) => this.value !== 0 ? this : new SumAcc(v);
}

const sum: MonoidAcc<number> = new SumAcc(0)
    .concat(1)
    .concat(0)
    .concat(3);
console.log(sum.value);
// 1

是不是和 ?. 或者 ?? || 很像

高阶类型

https://github.com/asukaminato0721/magic-in-ten-mins-ts/blob/master/doc/HKT.md

文中给的是案例代码好像是java的，这里用ai写一段真正ts代码（还得是Gemini2.5pro，ds-r1写的代码一直有问题）

// --- 第1步 (核心修复)：创建一个“类型注册表”接口 ---
// 这个接口的作用是建立一个从 URI (字符串字面量)到具体高阶类型 (如 Array<A>) 的映射。
// 我们将在这里“注册”所有我们想要支持的高阶类型。
interface URItoKind<A> {
  Array: Array<A>;
  // 如果未来要支持 Option<A>, 就可以在这里添加:
  // Option: Option<A>; 
}

// --- 第2步 (核心修复)：重新定义 HKT 为一个“查找类型” ---
// HKT 现在不再是一个固定的接口，而是一个条件类型。
// 它接受一个 URI，然后在上面的 URItoKind 注册表中查找到对应的具体类型。
// 这就是连接抽象 (URI) 和具体 (Array<A>) 的桥梁。
type HKT<URI extends keyof URItoKind<any>, A> = URItoKind<A>[URI];

// --- 第3步：为 Array 定义 URI ---
// 这部分保持不变。
const URI_ARRAY = 'Array';
type URI_ARRAY = typeof URI_ARRAY;

// --- 第4步：定义通用的 Functor 接口 ---
// 接口签名现在使用我们新的、更强大的 HKT 定义。
// F 必须是我们在 URItoKind 中注册过的一个键。
interface Functor<F extends keyof URItoKind<any>> {
  map<A, B>(fa: HKT<F, A>, f: (a: A) => B): HKT<F, B>;
}

// --- 第5步：为 Array 实现 Functor ---
// 现在，这里的实现变得极其干净和直观。
const arrayFunctor: Functor<URI_ARRAY> = {
  // 当 TypeScript 解析这个签名时：
  // 1. F 是 URI_ARRAY (即 'Array')
  // 2. fa 的类型是 HKT<'Array', A>
  // 3. 根据 HKT 的定义，这被解析为 URItoKind<A>['Array']
  // 4. 根据 URItoKind 的定义，这最终被解析为 Array<A>
  // 因此，`fa` 在函数体内部的类型就是 `Array<A>`！
  map<A, B>(fa: Array<A>, f: (a: A) => B): Array<B> {
    // 不再需要任何类型断言！可以直接调用数组的原生方法。
    return fa.map(f);
  },
};

// --- 第6步：演示如何使用 ---
function main() {
  console.log('--- 最终修复版 Functor 示例 (完全类型安全) ---');

  const numbers: number[] = [1, 2, 3, 4];
  console.log('原始数组:', numbers);

  const numberToGreeting = (n: number): string => `Hello, ${n}!`;

  // 调用时也不再需要任何类型断言。
  // TypeScript 知道 arrayFunctor.map 期望一个 Array<number> 并返回一个 Array<string>。
  const finalGreetings = arrayFunctor.map(numbers, numberToGreeting);

  console.log('映射为字符串后:', finalGreetings);
  console.log('`finalGreetings` 的类型是:', typeof finalGreetings, Array.isArray(finalGreetings) ? 'Array' : '');

  // 验证类型推断
  // 如果你将鼠标悬停在 VS Code 中的 finalGreetings 上，会看到它的类型被正确推断为 string[]。
  const lengthOfFirstGreeting: number = finalGreetings[0].length;
  console.log('第一个问候语的长度:', lengthOfFirstGreeting);
}

// 执行演示函数
main();

让ai更通俗易懂的介绍一下HKT：

HKT 的核心用途

抽象类型操作
为不同容器类型（Array, Option, Either）统一实现：
- map（映射）
- flatMap（链式操作）
- ap（应用函子）

类型安全泛型编程
写出适用于任意类型构造器的泛型函数：

1
2
3

function doubleValues<F>(F: Functor<F>, values: Type<F & HKT<F, number>>) {
  return F.map(values, x => x * 2);
}

函数式模式
实现函数式库中的关键抽象：
- Functor（map）
- Monad（flatMap）
- Applicative（ap）

实际应用场景

函数式库（如 fp-ts）
fp-ts 使用 HKT 模拟实现完整的函数式编程工具：

import * as O from 'fp-ts/Option';
import * as A from 'fp-ts/Array';

// 统一操作 Option 和 Array
O.map(Some(3), x => x * 2); // Some(6)
A.map([1, 2], x => x * 2);  // [2, 4]

领域特定抽象
例如为 API 响应统一处理容器类型：

type ApiResponse<T> = { 
  data: T; 
  error: string | null 
};

// 定义 ApiResponse 的 HKT
interface ApiResponseHKT extends HKT<'ApiResponse', any> {
  type: ApiResponse<this['_A']>;
}

// 实现 Functor
const apiFunctor: Functor<'ApiResponse'> = {
  map: (fa, f) => ({ ...fa, data: f(fa.data) }),
};

这里还有个htk的实现：https://github.com/Snowflyt/hkt-core

就不过多介绍了，不然感觉又可以独立写一篇文章了。。。

代数数据类型 (Algebraic Data Type) 、 广义代数数据类型 (Generalized Algebriac Data Type) 、余代数数据类型 (Coalgebraic Data Type)

单位半群 (Monoid)

高阶类型

HKT 的核心用途

实际应用场景

代数数据类型 (Algebraic Data Type) 、广义代数数据类型 (Generalized Algebriac Data Type) 、余代数数据类型 (Coalgebraic Data Type)